Проектирование автоматических межпланетных станций является очень ответственной задачей. Ошибки ранней стадии проектирования приводили к непоправимым результатам. Одной из проблем проектирования межпланетных станций является калибровка ВОГ используемых на участке спуска в атмосфере. Необходимость калибровки связана с изменением параметров ВОГ в течение, длительного межпланетного перелёта. В общем случае для калибровки ВОГ применяют стандартный метод, суть которого заключается в том, что ВОГ вращают, снимают их показания и сравнивают с параметрами вращения определёнными независимым методом.

Отличительной особенностью калибровки в условиях дальнего космического полёта является то, что ВОГ жёстко прикреплены к межпланетной станции и для их вращения мы должны вращать саму станцию. Это накладывает технические ограничения на возможные варианты вращения. Независимая информация о вращении может быть получена при помощи астродатчиков, которые также жёстко связанны со станцией.

В настоящей работе рассматривается не конкретная станция или конкретные ВОГ, а скорее автоматизированное рабочее место разработчика. Тем более, что полёт межпланетной станции со спускаемым аппаратом в ближайшее время не планируется. Это автоматизированное рабочее место является масштабируемым. В дальнейшем это автоматизированное рабочее место будет решать другие проблемы, связанные с космической техникой. Причем эти проблемы могут рассматриваться не отдельно взятые, а в совокупности. Причиной большого числа аварий связано с тем, что многие проблемы рассматривались изолированно друг от друга. При этом не учитывалось влияние одной проблемы на другую. Разработку такого автоматизированного места надо с чего-то начинать. Калибровка ВОГ была выбрана потому, что в настоящее время проблематика ВОГ наиболее хорошо изучена автором диплома.

Раздел II. Специальная Часть

Современное программирование не является линейным. Оно не описывается адекватно в виде последовательности операций. Для документирования современного программирования используют диаграммы языка UML http://ru.wikipedia.org/wiki/UML . Эти диаграммы поясняют документацию.

Настоящая работа содержит много разнородных частей. И для понимания их взаимосвязи целесообразно представить диаграмму. В этой диаграмме мы будем применять ассоциации следующих типов:

- использует теоретический раздел (пунктирная стрелка);

- импортирует данные (сплошная стрелка).

Структура документа представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 Взаимосвязь разделов дипломной работы.

Часть I. Теоретическая

Эта часть содержит несколько разнородных разделов из разных областей физики и математики, которые впоследствии будут использоваться для разъяснения практической части работы.

Глава 2.1 Волоконно-оптический гироскоп (ВОГ).

Необходимость дальнейшего развития и совершенствования измерителей физических величин ставит перед специалистами и разработчиками необходимость решения проблемы улучшения технических характеристик этих устройств. Особые перспективы здесь при использовании волоконно-оптической техники. Это обусловлено тем, что оптические системы обладают огромной информационной емкостью, скоростью передачи информации и уникальными характеристиками. Поисковые исследования последнего десятилетия основаны на использовании новейших достижений волоконной оптики и оптоэлектроники для разработки датчиков систем инерциальной навигации, систем ориентации и стабилизации положения объектов для систем космического, наземного и морского базирования. К числу таких датчиков относится волоконно-оптический гироскоп (ВОГ).

§ 2.1.1 Принцип действия ВОГ.

Волоконно-оптический гироскоп является датчиком угловой скорости, который регистрирует вращение объекта в инерциальной системе координат.

Принцип действия оптического гироскопа основан на эффекте Саньяка. По круговому оптическому пути, как показано на рис. 1, благодаря расщепителю луча свет распространяется в двух противоположных направлениях. Если при этом система находится в покое относительно инерциального пространства, оба световых луча распространяются встречно по оптическому пути одинаковой длины. Поэтому при сложении лучей в расщепителе по завершении пути нет фазового сдвига. Однако, когда оптическая система вращается в инерциальном пространстве с угловой скоростью W, между световыми волнами возникает разность фаз. Это явление и называется эффектом Саньяка.

Пусть коэффициент преломления на оптическом пути n=1. При радиусе оптического пути, а время достижения расщепителя лучей светом, движущимся по часовой стрелке, выражается как:

(2.1.1)

в противоположном направлении —

(2.1.2)

Из формул (1) и (2) разность времени распространения двух световых волн с учетом c >> aW

(2.1.3)

Это означает, что появляется разность длины оптических путей

(2.1.4)

или, иначе говоря, разность фаз

(2.1.5)

Здесь S — площадь, окаймленная оптическим путем; k — волновое число.

Формула (2.1.5) вытекает из формулы (2.1.3) при допущении, что n =1 и оптический путь имеет круговую форму, но возможно доказать, что формула (2.1.5) является основной для эффекта Саньяка. Она не зависит от формы оптического пути, положения центра вращения и коэффициента преломления.

Рис. 2.1.1 Эффект Саньяка

На рис. 2.1.2 приведена структурная схема волоконно-оптического гироскопа. По сути это интерферометр Саньяка (см. рис. 2.1.1), в котором круговой оптический контур заменен на катушку из длинного одномодового оптического волокна. Часть схемы, обведенная штриховой линией, необходима для повышения стабильности нулевой точки.

Рис. 2.1.2 Принципиальная оптическая схема волоконно-оптического гироскопа

Благодаря совершенствованию технологии производства выпускается волокно с очень низкими потерями. Чтобы не повредить волокно, намотка производится на катушку радиусом несколько сантиметров. При этом не наблюдается сколько-нибудь заметного увеличения потерь. Можно создать сравнительно малогабаритный и высокочувствительный интерферометр Саньяка с катушкой небольшого радиуса (2...5 см), намотав на нее волокно большой длины. Сформировав оптимальную оптическую систему, можно измерять с высокой точностью изменения фазы (в инерциальной навигации — порядка 10^-6`рад), а затем из формулы (2.1.1) определять круговую скорость. Все это и составляет принцип работы волоконно-оптического гироскопа.

§2.1.2 Основные ошибки ВОГ

Характеристики ВОГ тесно связанны с характеристиками источника излучения, а также влиянием на ВОГ шумовых и дестабилизирующих факторов.

К шумовым факторам относятся:

- Колебания поляризации в оптическом волокне, например, преобразование линейной поляризации в круговую в одномодовом волокне

- Разность длины оптических путей для световых волн, идущих в противоположных направлениях, при динамической нестабильности спектра источника света

- Разность частот волн, идущих по волокну в противоположных направлениях, при колебаниях температуры

- Неравномерность распределения температуры вдоль волокна

- Изменение фазы выходного сигнала из-за эффекта Фарадея в волокне под воздействием колебаний магнитного поля Земли

- Колебания (в расщепителе луча) отношения интенсивности прямого и обратного луча вследствие оптического эффекта Керра

- Интерференция прямого луча и луча обратного рассеяния Рэлея

Стабильность выходного сигнала ВОГ определяется двумя основными составляющими:

1) Стабильностью нуля

2) Стабильностью выходной характеристики устройства

Стабильность нуля ВОГ:

Существенным дестабилизирующим фактором ВОГ является нестабильность нуля. Это связано с тем, что из-за дрейфа нуля ВОГ меняется интенсивность выходного сигнала, что может привести к ошибкам на выходе фотоприёмника.

Рис. 2.1.3 Сдвиг нуля ВОГ

При анализе характеристик ВОГ обычно считается, что его фотоприёмник (ФП) является идеальным, но на практике это предположение может не выполняться по ряду причин (например вследствие поляризационной селективности светочувствительного слоя ФП, дихроизма стыкуемого с ним отрезка световода.), что будет приводить к сдвигу нуля ВОГ. Неидеальность ФП должна сказываться на характеристиках ВОГ в той же мере, что и наличие полностью поляризованной компоненты в излучении источника.

Стабильность выходного сигнала:

Выходной сигнал ВОГ имеет вид:

(2.1.6)

Стабильность выходной характеристики устройства определяется стабильностью трёх основных параметров:

- коэффициента нелинейности

(2.1.7)

- масштабного коэффициента

- нестабильностью масштабного коэффициента

В данной работе мы займёмся уточнением этих параметров

Глава 2.2 Динамика твёрдого тела. Уравнения Эйлера.

В физике вращении твёрдого тела описывается уравнениями Эйлера. Мы выбираем в качестве фиксированных осей тела его главные оси инерции. Это упрощает вычисления, поскольку мы можем разделить изменение углового момента на компонент, который описывает изменение величины L и компонент, который компенсирует это изменение в направлении L. Тогда уравнения принимают вид:

(2.1.8)

где:

- угловой момент тела по отношению к пространственным осям,

— изменение углового момента тела по отношению к его фиксированным осям,

– скорость изменения углов Эйлера осей, связанных с телом, по отношению к пространственным осям.

— внешний вращающий момент.

Если мы заменим его компонентами:

, (2.1.9)

то мы можем заменить выражением:

(2.1.10)

Если мы выберем базовые вектора совпадающими с главными осями инерции тела, то первые три слагаемых равны , а остальные три это . Тогда уравнения в компонентной форме примут вид:

(2.1.11)

Выразим из этих уравнений угловые скорости:

(2.1.12)

Полученные уравнения будут использоваться в практической части для моделирования выходного сигнала ВОГ.

Глава 2.2. Применение кватернионов в кинематике

§2.2.1. Определения кватернионов

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а a — скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

(2.1.13)

Произведение должно быть дистрибутивно и

(2.1.14)

(2.1.15)

(2.1.16)

где обозначает скалярное произведение, а — векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные матрицы

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

, (2.1.17)

Здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

· комплексному числу соответствует диагональная матрица;

· сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

; (2.1.18)

· квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

. (2.1.19)

Через вещественные матрицы

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$ (2.1.20)

При такой записи:

· сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

; (2.1.21)

· четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

. (2.1.22)

Стандартное определение –

Кватернионы можно определить как формальную сумму:

где a, b, c, d — вещественные числа, а i, j, k — мнимые единицы со следующим свойством: i² = j² = k² = ijk = − 1. Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов: 1, i, j, k выглядит так:

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	–1	k	–j
j	j	–k	–1	i
k	k	j	–i	–1

например, ij = k, a ij = –k.

Для кватерниона

(2.1.23)

кватернион a называется скалярной частью q, а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным.

Сопряжение

Кватернион

(2.1.24)

называется сопряжённым к q.

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

(2.1.25)

называется модулем . Если то q называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль:

. (2.1.26)

Обращение

Кватернион, обратный по умножению к $q$ , вычисляется так:

. (2.1.27)

§2.2.2. Функции кватернионного переменного

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

. (2.1.28)

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

. (2.1.29)

Элементарные функции:

Степень и логарифм

На множестве кватернионов можно определить показательную и логарифмическую функции. Это можно сделать, так как кватернионы образуют алгебру с делением.

(2.1.30)

(2.1.31)

(2.1.32)

Тригонометрические функции

(2.1.33)

(2.1.34)

(2.1.35)

Регулярные функции

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию $f$ как имеющую предел

(2.1.36)

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки $q$ вид

$f$ $=$ $a$ $+$ $qb$ $(2.1.37)$

где $a$ $,$ $b$ — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

(2.1.38)

(2.1.39)

и рассмотрении таких кватернионных функций $f$ , для которых , что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций.

Виды умножений:

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ( $pq$ ).

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

(2.1.40)

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

. (2.1.41)

Внешнее произведение

. (2.1.42)

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

(2.1.43)

§2.2.3. Кватернионы и вращение пространства

Любое вращение в трёхмерном пространстве — это вращение на определённый угол вокруг определённой оси. Если угол равен нулю, то выбор оси не имеет значения, таким образом, вращения на угол ноль градусов — это точка в пространстве вращения (единичное вращение). Для крошечного, но ненулевого вращения, каждое возможное вращение — это маленькая сфера, окружающая единичное вращение, где каждая точка на этой сфере представляет из себя ось, указывающую в определённом направлении (можно сравнить с небесной сферой). Чем больше угол вращения, тем больше вращение от единичного вращения — о таких вращениях можно думать как о концентрических сферах с увеличивающимся радиусом. Таким образом, вблизи единичного вращения абстрактное пространство вращений выглядит как обычное трёхмерное пространство (которое также можно представить как центральную точку, окружённую концентрическими сферами). При увеличении угла до , вращения вокруг различных осей перестают расходиться и начинают становиться похожими друг на друга, становясь идентичными (и равными единичному вращению) когда угол достигает 360 градусов.

Поверхность сферы можно охарактеризовать двумя координатами, например широтой и долготой. Однако такие координаты как широта и долгота на северном и южном полюсах начинают вести себя неопределённо (проявляют вырожденность), хотя северный и южный полюса принципиально не отличаются от любой другой точки поверхности сферы. Это показывает, что ни одна координатная система не может двумя координатами охарактеризовать положение в пространстве. Этого можно избежать, поместив сферу в трёхмерное пространство и охарактеризовав её декартовыми координатами (w, x, y), помещая северный полюс на (w, x, y) = (1, 0, 0), южный полюс на (w, x, y) = (1, 0, 0), а экватор на w = 0, x² + y² = 1. Точки на сфере удовлетворяют отношению:

w² + x² + y² = 1. (2.1.44)

В итоге получаются две степени свободы, хотя имеется три координаты. Точка (w, x, y) представляет вращение вокруг осей (x, y, 0) на угол .

(2.1.45)

Таким же образом гиперсферическое пространство трёхмерных вращений может быть охарактеризовано тремя углами (углами Эйлера), однако любое такое представление начинает вырождаться на некоторых точках гиперсферы. Этой проблемы можно избежать, используя евклидовы координаты w, x, y, z, где:

w² + x² + y² + z² = 1. (2.1.46)

Точка (w, x, y, z) представляет вращение вокруг осей (x, y, z) на угол

. (2.1.47)

Допустим (w, x, y, z) — координаты вращения, согласно прежнему описанию. Тогда кватернион q можно определить как:

(2.1.48)

где u – единичный вектор. Таким образом, произведение вращает вектор v на угол α вокруг оси u. Вращение происходит по часовой стрелке, если рассматривать вращение по направлению вектора u.

Вращение на кватернионы можно объединить, перемножив их (от порядка умножения зависит порядок вращения). Таким образом вращения на кватернионы p и q равно

(2.1.49)

что тоже самое что и вращение на q, а затем на p.

Инверсия кватерниона — это тоже что и вращение в противоположном направлении, таким образом:

Квадрат кватерниона — это вращение на двойной угол вокруг той же оси. В общем смысле, qⁿ — это вращение вокруг оси q на угол, в n раз больший первоначального. Вместо n может быть любое вещественное число, позволяя использовать кватернионы для плавной интерполяции между двумя положениями в пространстве.

Пусть u — это единичный вектор (ось вращения), а

- кватернион. Наша цель показать, что:

(2.1.50)

вращает вектор v на угол α вокруг оси u. Раскрыв скобки, получаем

(2.1.51)

где и — это компоненты вектора v, которые перпендикулярны и параллельны оси u соответственно. Получившийся результат является формулой вращения на угол α вокруг оси u.

Глава 2.3. Нелинейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Одним из ингредиентов алгоритма калибровки является нелинейная регрессия. Лучшим обоснованием выбора данного метода является описание. Традиционный метод начинается с описания метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

До начала XIX в. учёные не имели опредёленных правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных менее числа уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Лежандру (1805—06) и Гауссу (1794—95) принадлежит первое применение к решению указанной системы уравнений теории вероятности, исходя из начал, аналогичных с началом арифметической середины, уже издавна и, так сказать, бессознательно применяемых к выводам результатов в простейшем случае многократных измерений. Как и в случае арифметической середины, вновь изобретённый способ не даёт, конечно, истинных значений искомых, но даёт зато вероятнейшие значения. Этот способ распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Лапласа, Энке, Бесселя, Ганзена и др. и получил название метода наименьших квадратов, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

Пусть дано решить систему уравнений

a1x + b1y + c1z + … + n1 = 0

a2x + b2y + c2z + … + n2 = 0 (2.1.52)

a3x + b3y + c3z + … + n3 = 0

…

число которых более числа неизвестных x, у, z… Чтобы решить их по способу Н. квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные, уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной х и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной у и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если означить для краткости:

[aa] = a1a1 + a2a2 +…

[ab] = a1b1 + a2b2 +…

[ac] = a1c1 + a2c2 +…

… (2.1.53)

[ba] = b1a1 + b2a2 +…

[bb] = b1b1 + b2b2 +…

[bc] = b1c1 + b2c2 +…

…

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

[aa]x + [ab]y + [ac]z + … + [an] = 0

[ba]x + [bb]y + [bc]z + … + [bn] = 0 (2.1.54)

[ca]x + [cb]y + [cc]z + … + [cn] = 0

…

Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:

5x - 8y - 16 = 0

8x - y - 32 = 0

16x + 8y - 55 = 0

9x + 7y - 32 = 0

9x + 20y - 29 = 0

Составив значения [aa], [ab].., получаем следующие нормальные уравнения:

507x + 323у — 1765 = 0

323x + 578у — 1084 = 0,

откуда х = +3,55; у = —0,109. Уравнения (2.1.52) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному.

Говоря о нелинейных моделях регрессионного анализа важно обращать внимание на то, идет ли речь о нелинейности по независимым переменным (с формальной точки зрения легко сводящейся к линейной регрессии), или о нелинейности по оцениваемым параметрам (вызывающей серьезные вычислительные трудности. В нашем случае оценивания параметров калибровки нелинейность может привести к расходимости процесса в случае когда начальное приближение калибровочных параметров сильно отличается от реальных параметров. Однако в этом случае имеется возможность проведения последовательных разворотов по разным осям. Данная схема является весьма робастной по отношению к ошибкам начального приближения.

Глава 2.4. Элементы теории случайных процессов.

§2.4.1. Основные понятия и определения

Определение:

Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство случайных величин

, (2.1.55)

где T – произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология:

Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью.

Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случайным полем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

§2.4.2 Классификация случайных процессов

Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.

Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.

Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.

Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.

Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если

(2.1.56)

— независимые случайные величины.

Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени.

Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход , то — детерминистическая функция параметра t. Такая функция называется траекторией или реализацией случайной функции .

§2.4.3. Белый и цветной шум

Белый шум — стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Примерами белого являются шум водопада или шум Шотки на клеммах большого сопротивления. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения.

В природе и технике «чисто» белый шум (то есть белый шум, имеющий одинаковую спектральную мощность на всех частотах) не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел бы бесконечную мощность), однако под категорию белых шумов попадают любые шумы, спектральная плотность которых одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.

Статистические свойства:

Рис. 2.1.4 Пример реализации процесса со свойствами белого шума.

Термин «белый шум» обычно применяется к сигналу, имеющему автокорреляционную функцию, математически описываемую дельта-функцией Дирака по всем измерениям многомерного пространства, в котором этот сигнал рассматривается. Сигналы, обладающие этим свойством, могут рассматриваться как белый шум. Данное статистическое свойство является основным для сигналов такого типа.

То, что белый шум некоррелирован по времени (или по другому аргументу), не определяет его значений во временной (или любой другой рассматриваемой аргументной) области. Наборы, принимаемые сигналом, могут быть произвольными с точностью до главного статистического свойства (однако постоянная составляющая такого сигнала должна быть равна нулю). К примеру, двоичный сигнал, который может принимать только значения, равные нулю или единице, будет являться белым шумом только если последовательность нулей и единиц будет некоррелирована. Сигналы, имеющие непрерывное распределение (к примеру, нормальное распределение), также могут быть белым шумом.

Иногда ошибочно предполагается, что гауссовский шум (то есть шум с гауссовским распределением по амплитуде — см. нормальное распределение) обязательно является белым шумом. Однако эти понятия неэквивалентны. Гауссовский шум предполагает распределение значений сигнала в виде нормального распределения, тогда как термин «белый» имеет отношение к корреляции сигнала в два различных момента времени (эта корреляция не зависит от распределения амплитуды шума). Белый шум может иметь как распределение Гаусса, так и распределение Пуассона, Коши и т. д. Гауссовский белый шум в качестве модели хорошо подходит для математического описания многих природных процессов (см. Аддитивный белый гауссовский шум).

Цветной шум

Для удобства описания в физике введены термины, приписывающие шумовым сигналам различные цвета в зависимости от их статистических свойств, к примеру, розовый шум или синий шум.

Применения

Белый шум находит множество применений в физике и технике. Одно из них — в архитектурной акустике. Для того, чтобы скрыть нежелательные шумы во внутренних пространствах зданий, генерируется постоянный белый шум низкой амплитуды.

В электронной музыке белый шум используется как в качестве одного из инструментов музыкальной аранжировки, так и в качестве входного сигнала для специальных фильтров, формирующих шумовые сигналы других типов. Широко применяется также при синтезировании аудиосигналов, обычно для воссоздания звучания ударных инструментов, таких как тарелки.

Белый шум используется для измерения частотных характеристик различных линейных динамических систем, таких как усилители, электронные фильтры, дискретные системы управления и т. д. При подаче на вход такой системы белого шума, на выходе получаем сигнал, являющийся откликом системы на приложенное воздействие. Ввиду того, что амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной системы есть отношение преобразования Фурье выходного сигнала к преобразованию Фурье входного сигнала, получить эту характеристику математически достаточно просто, причём для всех частот, для которых входной сигнал можно считать белым шумом.

Во многих генераторах случайных чисел (как программных, так и аппаратных) белый шум используется для генерирования случайных чисел и случайных последовательностей.

Часть II. Практическая.

Глава 2.5. Построение математической модели.

Суть метода калибровки ВОГ состоит в том, что астросистема определяет ориентацию станции в моменты времени Этим моментам соответствуют значения кватернионов С другой стороны эти значения кватернионов могут быть получены из уравнений кинематики:

(2.2.1)

Где Если мы положим в этих уравнениях При этом очевидно, что

С другой стороны, выходной сигнал ВОГ имеет вид:

(2.2.2)

То есть, угловые скорости связаны с показаниями ВОГ следующей зависимостью:

(2.2.3)

Где