Моделирование фазового волнового резонатора с переотражением

1.     Введение

 

Лазерные измерители пришли на смену механическим рулеткам, метрам, угломерам и другим измерительным приборам. Лазерные измерители значительно облегчают и ускоряют процессы обмера и разметки. С использованием одного прибора вы сможете, даже на больших площадях, нанести линии разметки с большой точностью всего лишь за несколько минут. Неоспоримым преимуществом лазерных измерителей является возможность проведения обмеров в труднодоступных или недоступных местах. Большая часть лазерных инструментов способна проводить элементарные математические действия с результатами измерений, а профессиональные приборы - более сложные вычисления или передавать данные на персональный и карманный компьютер для дальнейшей обработки. Существует много различных типов лазерных измерителей. В данной работе мы рассмотрим прецизионные измерители, которые используются для прецизионного определения небольших дальностей. Можно привести следующие примеры применения таких измерителей.

1)      Турбодетандер.

Турбодетандер представляет собой криогенное устройство с двумя турбинами, которые крепятся на один вал. Одна турбина является ведущей, и её вращение создаётся струёй газа. Вторая турбина – ведомая. Она закачивает газ, создавая тем самым низкое давление в рабочей области. В свою очередь резкое снижение давления приводит к сжижению газа. Для функционирования турбодетандера необходимо обеспечить высокую скорость вращения турбин (до 200000 оборотов в минуту).  Механические подшипники не поддерживают такую скорость вращения. По этой вал турбодетандера удерживается магнитной системой управления. Чувствительными элементами таких систем управления являются прецизионные лазерные или радиоактивные измерители дальности.

http://www.cryogenmash.ru/images/upload/turbo.jpg

2)      Эксперимент Майкельсона Морли.

Эксперимент Майкельсона – Морли является решающим экспериментом, подтвердившим Теорию Относительности. Хотя данная теория доказана многими другими экспериментами,  всё равно у многих исследователей есть намерение повторить эксперимент Майкельсона Морли с использованием современной прецизионной техники.

 

 

 

 

2.     Физические принципы

 

Наиболее точные физические измерения получаются в замкнутых системах с обратной связью. Замкнутость системы позволяет избавиться от большого числа инструментальных погрешностей. В оптических системах данные погрешности могут быть обусловлены разными факторами: загазованностью, загрязнением датчика и т.п. Очень часто измерители с обратной связью применяются не для измерения значения физической величины а для индикации, того что физическая величина принимает значение близкое к  требуемому. Рассматриваемый в данной работе резонатор предназначен именно для этой цели. Схема его действия изображена ниже на следующем рисунке:

 

На данном рисунке световая волна отражается от зеркала 1 и идёт к зеркалу 2. Далее она отражается от зеркала 1 и идёт к зеркалу 2. По рекурсии получается бесконечное переотражение. Резонанс получается в том случае, когда расстояние между зеркалами кратно длине световой волны. Математически данная задача решается методом последовательных приближений. Подробности решения задачи описаны ниже.

3.     Математическая постановка задачи

 

Настоящая работа посвящена моделированию физической системы схема, которой изображена на следующем рисунке:

 

 

На данном рисунке когерентный источник излучения посылает световой пучок сквозь полупрозрачное зеркало. Далее производится бесконечнократное переотражение. Задача состоит в моделировании данного процесса.

 

Для моделирования процесса введём комплексные амплитуды интенсивности излучения.

Если зависимость амплитуды излучения как функция времени имеет вид:

 

 , то мы будем в соответствии данной амплитуде ставить комплексное число:

Интенсивность излучения от полупрозрачного зеркала складывается из двух слагаемых. Первое слагаемое обусловлено источником сигнала. Второе связано с тем, что полупрозрачное зеркало отражает сигнал, приходящий от отражающего зеркала. Данная интенсивность определяется следующим соотношением.

 

  (1)

 

где  и  соответственно, комплексные коэффициенты, соответствующие первому и второму слагаемому,  – расстояние до зеркала,  – волновое число,  - коэффициент затухания.

Интенсивность отражения от отражающего зеркала определяется следующим соотношением:

 

 

где  – амплитуда сигнала приходящего от полупрозрачного зеркала,  - коэффициент характеризующий физические свойства отражающего зеркала,  – расстояние между зеркалами.

 

С другой стороны параметр  определяется следующим образом:

 

где  – коэффициент, характеризующий физические свойства полупрозрачного зеркала.

В данной задаче мы имеем обратную связь. С одной стороны амплитуда  зависит от , с другой  - зависит от . Теперь сформулируем задачу математически.

 

Дано:

Исходя из приведённых выше уравнений, требуется найти параметры  и .

Во-первых, отметим, что путём умножения всех амплитуд на одно и то же комплексное число мы можем свести задачу к случаю, когда  является чисто вещественным. Решение задачи производится итерационно. На первой итерации мы считаем, что . Исходя из этого, вычисляем . Зная , вычисляем уточнённое значение   исходя из которого, снова вычисляем . Итерационный процесс вычислений  и  проводится до тех пор, пока не будет обеспечена сходимость.

4.     Низкоуровневое решение задачи

 

На заре развития информационных технологий, когда отсутствовало объектно ориентированное и декларативное программирование решение данной задачи требовало детализированных математических выкладок. Это вынуждало исследователя заниматься рутинной и совершенно ненужной работой, связанной с математическими выкладками. Кроме того данная работа очень часто приводит к большому количеству ошибок. В настоящем разделе для сравнения приведены  выкладки, которые было бы необходимо произвести без использования высокоуровневого программного обеспечения.

 

Итак, приведём данные формулы. Предположим, что координаты полупрозрачного зеркала равны  , а координаты отражающего зеркала равны . Тогда нам для вычислений необходимо рассчитать расстояние между ними. Это осуществляется по следующей формуле:

Попутно отметим, что при высокоуровневом подходе, данное выражение не нужно. У нас есть два объекта Source Frame и Target Frame, соответствующие системам координат полупрозрачного и отражающего зеркала. Все необходимые математические выкладки, связанные с геометрией системы проводятся автоматически. Например, если бы нам потребовалось непосредственно вычислить расстояние между началом координат Source Frame и началом координат  Target Frame, то мы применяем компонент Measurement (cм. рисунок ниже)

 

Как видно из рисунка компонент Measurement определяет не только расстояние (Distance), но и относительную скорость. В приведённом в следующем разделе сценарии нам даже не нужно непосредственно вычислять расстояние. Нам нужно работать с распространением физических полей. Данный пример хорошо поясняет суть декларативного программирования. Мы не вводим формулу для дальности, а декларируем две системы координат Source Frame и Target Frame. Свойства этих систем координат отражены в их редакторах:

Компонент Measurement осуществляет декларацию измерений параметров движения  Source Frame относительно Target Frame. Параметрами движения являются относительные координаты, дальность, скорость, относительная ориентация, угловая скорость и компоненты линейного и углового ускорения.

Продолжим теперь детализацию математических формул. В районе отражающего зеркала комплексная амплитуда излучения равна:

;   (2)

Поясним её суть.  Вещественный коэффициент  состоит из двух членов.  Первый член  соответствует накачке и он нам известен. Второй член  обусловлен переотражением. Его надо определить методом последовательных приближений. Мнимый коэффициент  обусловлен переотражением. На первой итерации мы полагаем . Амплитуда отражённого поля вычисляется по формуле:

; (3)

 

Где  параметр, характеризующий отражательные свойства отражающего зеркала. Для переотражения мы имеем следующее выражение:

 

 (4)

 

Итак, алгоритм состоит из следующих шагов.

Шаг 1:

Задаём параметр  соответствующим накачке и полагаем

Шаг 2:

Вычисляем ;

Шаг 3:

Вычисляем  по формуле (3);

Шаг 4:

Вычисляем новые значения параметров  и  по формуле (4)

Шаг 5:

Если полученные новые значения  и  изменились мало, то заканчиваем итерационный процесс. В противном случае возвращаемся к шагу 2.

5.     Высокоуровневое решение задачи

 

Высокоуровневое решение задачи не требует проведения выкладок приведённых в разделе 4. Свободно распространяемый, имеющий лицензию AFL программный декларативно ориентированный пакет AstroFrame https://sourceforge.net/projects/astrohalaxy  осуществляет данные выкладки автоматически. Одной из задач, решаемых данным пакетом, является моделирование физических полей. В частности, он решает задачу моделирования полей с переотражением.  Используя данный комплекс мы создаём следующий проект:

 

Поясним суть данной схемы. В ней есть два объекта физическое поле в трёхмерном пространстве . Источник Source Field моделирует поле создаваемое источником излучения и полупрозрачным зеркалом. Источник Target Field моделирует поле, создаваемое отражающим зеркалом.  С данными полями связаны системы координат  Source Frame и Target Frame. Свойства объекта Target Frame представлены на следующем рисунке:

 

Это означает, что системе координат Target Frame соответствует единичная матрица  перехода и координаты X=1, Y=2, Z=5.  При необходимости эти координаты можно изменять. Объект Source Field имеет следующие свойства:

 

Суть состоит в том, что входные параметры поля (координаты точки) соответствуют параметрам Coord.x, Coord.y, Coord.z объекта Coord. Параметры поля соответствуют действительной и мнимой части комплексной амплитуды. Их расчёт производит  объект – вычислитель  Source Formula. Рассмотрим его редактор свойств:

 

Данные формулы Formula 1 и Formula 2. фактически отражают вещественную и мнимую часть амплитуды сигнала.  В них входят параметры b и c виртуального измерителя параметров физического поля  Loop Volt. Фактически этот объект измеряет параметры создаваемого отражающим зеркалом в районе полупрозрачного зеркала. Фактически они является компонентами комплексного числа  в формуле (1). Также как и Source Field объект Loop Volt геометрически привязан к системе координат  Source Frame.

Аналогично объектам группы Источник построены объекты группы Приёмник, соответствующие отражающему зеркалу. Там есть физическое поле Target Field, система координат Target Frame, группа объектов, осуществляющих математические преобразования  , виртуальный измеритель параметров физического поля Receiver. Связаны объекты обеих групп стрелки типа. Данные стрелки ассоциируют физическое поле с объектом использующим его. В данном случае поле полупрозрачного зеркала Source Field антенны  используется объектом Receiver , который даллеес используется для расчёта поля отражающего зеркала. Аналогично поле Target Field  используется объектом Target Field для последующего расчёта поля полупрозрачного зеркала Source Field.   Компонент графической индикации  Graph производит индикацию итераций. Итерационный процесс выглядит следующим образом:

На данном графике ось абсцисс соответствует номеру итерации, а ось ординат параметрам поля. Красным цветом изображена действительная часть параметра  а синим – мнимая. Аналогично можно осуществить индикацию параметра .